看见物理（四）：动量——惯性的力量

碰撞前：车 A → 60 km/h    车 B ← 60 km/h
碰撞后：车 A 停             车 B 停

动能去哪了？变成了热、声音、车身变形。
能量守恒？✓（动能 → 热能 + 声能 + 变形能）

但还有一个量也守恒了——而且它告诉你更多信息。

一个乒乓球（3 克）以 40 m/s 飞过来：
  动量 = 0.003 × 40 = 0.12 kg·m/s
  → 你用手一挡就停了

一个保龄球（7 公斤）以 5 m/s 滚过来：
  动量 = 7 × 5 = 35 kg·m/s
  → 你挡不住，手会被砸

保龄球的速度是乒乓球的 1/8，但动量是乒乓球的 300 倍。

动量 = 质量 × 速度。重的东西，即使慢，动量也大。
这就是"惯性的力量"——重的东西很难停下来。

碰撞前：
  球 A：m=2kg, v=3m/s →    动量 = 2×3 = +6
  球 B：m=3kg, v=0          动量 = 3×0 = 0
  总动量 = 6 kg·m/s

碰撞后：
  球 A 减速，球 B 被撞飞
  不管怎么撞——弹性碰撞、非弹性碰撞、完全粘在一起——
  总动量 = 6 kg·m/s    ← 一点都没变！

碰撞中能量可能损失（变成热和声音），但动量不会。

火箭怎么在真空中前进？没有空气可以"推"。

答案：动量守恒。

发射前：总动量 = 0（火箭静止）
发射后：
  燃气高速向后喷出 → 动量向后
  火箭必须向前飞   → 动量向前
  总动量 = 0        ← 还是零！

火箭不是"推空气"前进的。
它是把一部分质量（燃气）高速向后扔出去，
自己获得了等量的、向前的动量。

这和你站在冰面上扔保龄球完全一样——
你扔球向前，你自己就会向后滑。

时间对称性 → 能量守恒
  （物理规律今天适用，明天也适用 → 能量守恒）

空间对称性 → 动量守恒
  （物理规律在这里适用，在那里也适用 → 动量守恒）

旋转对称性 → 角动量守恒
  （物理规律不管朝哪个方向都一样 → 角动量守恒）

想象一下：如果宇宙的物理定律在不同地方是不同的——

在客厅里 F=ma
在厨房里 F=2ma
在卧室里 F=0.5ma

那你从客厅推一个球到厨房，球的行为就会突然改变。
动量就不守恒了。

但物理定律不会因为你换了个房间而改变。
在地球上 F=ma，在火星上也是 F=ma。
在银河系这头和那头，物理定律一模一样。

这种空间的均匀性 → 动量守恒。

普通 SGD：     每一步只看当前梯度 → 容易被噪声带偏
Momentum SGD： 每一步 = 90% 的历史方向 + 10% 的当前梯度
               → 方向稳定，不来回弹跳

就像保龄球 vs 乒乓球：
保龄球沿峡谷稳稳滚到终点（Momentum）
乒乓球在峡谷里乱飞（纯 SGD）

惠更斯：运动的真正度量 = mv（动量）
莱布尼茨：运动的真正度量 = mv²（活力 ≈ 动能）

两派各执一词，争论了将近半个世纪。

第一篇（运动）：伽利略教我们——不问"为什么动"，问"怎么动"
              → AI 的梯度 = "变化的速度"

第二篇（力）：  牛顿用 F=ma 统一天上地下
              → AI 的梯度下降 = "力驱动的运动"

第三篇（能量）：能量守恒 = 变化中找不变量
              → AI 的损失函数 = 能量景观

第四篇（动量）：动量守恒 + 诺特定理 = 对称性的力量
              → AI 的 Momentum 优化器 = 物理动量的移植

# 纯 Python，零依赖
import math

# ===== 实验 1：碰撞中的动量守恒 =====
print("=== 碰撞中的动量守恒 ===\n")

# 一维弹性碰撞公式
def elastic_collision(m1, v1, m2, v2):
    v1_new = ((m1 - m2) * v1 + 2 * m2 * v2) / (m1 + m2)
    v2_new = ((m2 - m1) * v2 + 2 * m1 * v1) / (m1 + m2)
    return v1_new, v2_new

cases = [
    ("台球（等质量）",    1, 3, 1, 0),
    ("轻撞重",           1, 3, 10, 0),
    ("重撞轻",           10, 3, 1, 0),
    ("对撞",             2, 3, 2, -3),
]

for name, m1, v1, m2, v2 in cases:
    v1n, v2n = elastic_collision(m1, v1, m2, v2)
    p_before = m1*v1 + m2*v2
    p_after  = m1*v1n + m2*v2n
    print(f"  {name}:")
    print(f"    碰前: A({m1}kg, {v1:+.1f}m/s) B({m2}kg, {v2:+.1f}m/s) → 总动量={p_before:+.1f}")
    print(f"    碰后: A({m1}kg, {v1n:+.1f}m/s) B({m2}kg, {v2n:+.1f}m/s) → 总动量={p_after:+.1f}")
    print(f"    动量守恒 ✓\n")

# ===== 实验 2：SGD vs Momentum 优化器 =====
print("=== SGD vs Momentum 优化器 ===")
print("目标函数: f(x,y) = 0.1x² + 2y²（窄长峡谷）\n")

def f(x, y):
    return 0.1 * x**2 + 2 * y**2

def grad_f(x, y):
    return 0.2 * x, 4.0 * y

# 普通 SGD
x, y = 5.0, 5.0
lr = 0.12
print("  普通 SGD:")
for step in range(20):
    gx, gy = grad_f(x, y)
    x -= lr * gx
    y -= lr * gy
    if step % 4 == 0:
        print(f"    step {step:2d}: ({x:+6.3f}, {y:+6.3f})  loss={f(x,y):.4f}")

print(f"    最终: ({x:+.4f}, {y:+.4f})  loss={f(x,y):.6f}")

# SGD + Momentum
x, y = 5.0, 5.0
vx, vy = 0, 0
beta = 0.9
print(f"\n  SGD + Momentum (β={beta}):")
for step in range(20):
    gx, gy = grad_f(x, y)
    vx = beta * vx + lr * gx
    vy = beta * vy + lr * gy
    x -= vx
    y -= vy
    if step % 4 == 0:
        print(f"    step {step:2d}: ({x:+6.3f}, {y:+6.3f})  loss={f(x,y):.4f}")

print(f"    最终: ({x:+.4f}, {y:+.4f})  loss={f(x,y):.6f}")

print("\n  对比：Momentum 版本收敛更快、更平滑。")
print("  在窄长峡谷里，Momentum 不会来回弹跳，而是稳定前进。")